ጥሬ ኮዱን ለጥግ ለማየት

በ[[ካልኩለስ]] ጥናት የአንድ [[አስረካቢ]] ወይንም [[ድርድር]] [[ግቤት]] የተወሰነ ዋጋ ''እየቀረበ'' ሲሄድ የዚያ አስረካቢ ወይንም ድርድር [[ውጤት]] እየተጠጋ የሚሄደው ዋጋ '''ጥግ''' ይባላል። ጥግ መሰረታዊ ጽንሰ ሐሳብ እንደመሆኑ [[ሪጋ አስረካቢ|ሪጋነት]]፣ [[ውድድር]] እና [[አጠራቃሚ]] የተሰኙት የካልኩለስ ዋና ዋና ሃሳቦች የሚተረጎሙት በጥግ ነው፡፡

== የአስረካቢ ጥግ ==
{{Double image|right|Límite 01.svg|{{#expr: (200 * (800 / 800)) round 0}}|Limit-at-infinity-graph.png|{{#expr: (200 * (619 / 405)) round 0}}|  ግቤት {{math|x}}  ከ ነጥብ {{math|c}} በ δ ርቅት ላይ ካለ, የ{{math|f(x)}} ዋጋ  ከጥጉ {{math|L}} በ ε  ርቀት ውስጥ ይገኛል።  .| ለማናቸውም {{math|x > S}},  አስረካቢ {{math|f(x)}}  ከጥግ {{math|L}} በ ε ርቀት ውስጥ ይገኛል }}

አስረካቢ {{math|f(x)}} እና ነጥብ {{math|c}} ቢሰጡ፣ አስረካቢው በተሰጠው ነጥብ ላይ ሊኖረው የሚችለው ጥግ እንዲህ ይጻፋል

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

ትርጉሙም {{math|x}}ን ወደ ነጥብ {{math|c}} በማስጠጋት የ አስረካቢ {{math|f(x)}} ዋጋን '''በተፈለገ መጠን''' ወደ {{math|L}} ማስጠጋት ይቻላል። እንግዲህ " የ{{math|x}} ዋጋው ወደ {{math|c}} ሲጠጋ, የ{{math|f}} ጥግ {{math|L}}" ነው ይባላል። በጥንቃቄ መታየተ ያለበት፣ በአንድ ነጥብ ላይ አንድ አስረካቢ ያለው ጥግ እና ውጤት አንድ ላይሆኑ ይችላሉ፣ ማለት {{math|f(c) ≠ L}}። እንዲያውም አስረካቢ {{math|f(x)}} በነጥብ {{math|c}} ላይ ትርጉም ላይኖረውም ይችላል። ጥግ፣ አስረካቢው የሚቀርበውን ዋጋ እንጂ የአስረካቢውን ዋጋ አያሰላም። 

=== ምሳሌ ===

:<math> f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} </math>

እዚህ ላይ ''f''(1) በ[[ዜሮ]] ማካልፈል ስለሚሆን አስረካቢው 1ን ማስረከብ አይችልም። በሌላ አነጋገር አስረካቢው 1 ላይ ትርጉም የለውም። ሆኖም ግን {{math|x}} ወደ 1 እየተጠጋ ሲሄድ, {{math|f(x)}} ወደ 2 እየተጠጋ ይሄዳል። 
ከላይ የተሰጠውን በስራ ለማሳየት መጀመሪያ x^2-1 መተንተን ያስፈልጋል. [(x-1)(x+1)]/(x-1). ከዛ መጣፋት የሚችሉትን ካጣፋን በሓላ x+1 ይቀራል. በመጨረሻም 1ን በx ቦታ መተካት. ስለዚህ መልሳችን 2 ነው ማለት ነው.
f(x)=(2x-1)/x, x-->∞ ከላዪም ከታችም ∞ን ስለሚተጋ -1 ለውጥ አያመታም. ስለዚህ xን በx አጣፍተን መልሳችን 2 ይሆናል ማለት ነው. 
{| class="wikitable"
|''f''(0.9)||''f''(0.99)||''f''(0.999)|| ''f''(1.0) ||''f''(1.001)||''f''(1.01)||''f''(1.1)
|-
|    1.900 ||     1.990 ||      1.999 ||  ⇒ ትርጉም የለሽ ⇐ ||      2.001 ||     2.010 ||    2.100
|}

ከሰንጠረዡ መረዳት እንደሚቻለው {{math|x}}ን ወደ 1 በማስጠጋት አስረካቢ {{math|f(x)}}ን ወደ 2 በፈለግነው መጠን ማስጠጋት ይቻላል። ስለሆነም አስረካቢው በ1 ላይ ያለው ጥግ 2 ነው ይባላል።

=== ሂሳባዊ የቀኖና ትርጉም ===

{{ቀመር|አስረካቢው f(x)  በc  ላይ ጥግ አለው ሲባል በሂሳብ ቋንቋ እንዲህ ይጻፋል፡
:<math>\lim_{x \to c} f \left( x \right) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - c \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon</math> | የጥግ ቀኖናዊ ትርጉም
}}

=== የጥግ ባህሪዎች ===

* እኩልዮሽ
*: <math>\left( \lim_{x \to c} f \left( x \right) = L_1 \right) \land \left( \lim_{x \to c} f \left( x \right) = L_2 \right) \Rightarrow (L_1 = L_2)</math>

* [[ቆንጣጭ እርግጥ]]

* መደመር
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = L+B \right);</math>

* መቀነስ
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = L-B \right);</math>

* ማባዛት
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = L\cdot B \right);</math>

* ማካፈል
*: <math>\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{L}{B}\right).</math>

[[መደብ:ጥግ|ጥግ]]
[[መደብ:ካልኩለስ]]